Lineer Cebirde Matris ve Operatör arasındaki fark nedir?


cevap 1:

Doğrusal bir operatör bir matriste soyut vektörün bir sütun vektörüne ne olduğudur. Doğrusal bir operatör, bir vektör uzayına ait iki soyut vektör arasındaki bir haritadır. Temelden orta doğrusal cebire geçtiğinizde öğrendiğiniz matrislerin soyutlamasıdır. Bir matris, sütun vektörlerinin vektör uzayına etki eden doğrusal bir operatördür. Doğrusal cebir ve onun izomorfizm teoremlerine göre, herhangi bir vektör alanı aynı boyuttaki diğer vektör uzayları için izomorfiktir. Bu haliyle, matrisler, sütun vektörlerinin bir bazına tabi olan doğrusal operatörlerin temsili olarak görülebilir.

Örneğin,

M0=0M|0\rangle = |0\rangle

ve

M1=0M|1\rangle = 0

. Hadi bunu

{0,1}\{|0\rangle,|1\rangle\}

ve ne olduğunu görün.

0M0=1\langle 0|M|0\rangle = 1

,

0M1=0\langle 0|M|1\rangle = 0

,1M0=0,and[math]0M0=0[/math].Thisgivesusthematrixrepresentationofouroperator,, \langle 1|M|0\rangle = 0, and [math]\langle 0|M|0\rangle = 0[/math]. This gives us the matrix representation of our operator,

M=(1000)M = \begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & 0\end{pmatrix}

Bu uzaydaki vektörler, bileşenleri

o|o\rangle

ve

1|1\rangle

vektörler.

Yine de bu operatörü farklı bir temele yansıtabilirdik. Temeli düşünün

{12(0+1),\{\frac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle+|1\rangle),

12(01)}\frac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle-|1\rangle)\}

. Bu temele yansıtma,

M=12(1111)M = \frac{1}{2}\begin{pmatrix}1 & 1 \\ 1 & 1\end{pmatrix}

.

Açıkça iki farklı matrisimiz var ama ikisi de aynı soyut operatörü temsil ediyor. Eğer alırsak

0|0\rangle

ve

1|1\rangle

x ve y birim vektörleri olmak üzere, bu matris x eksenine yansıtma işlevi görür (ve bunu her iki bazda da yapar).

Daha ilginç olan ise, sadece farklı matrislerin aynı doğrusal operatörü temsil etmekle kalmaması, matrislerin (ve sütun vektörleri) tamamen farklı matematiksel varlıklarla aynı doğrusal operatörleri (ve vektörleri) temsil edebilmesidir. Örneğin kuantum mekaniğinde, matrisler ve kolon vektörleri olarak temsil edilmeye ek olarak, operatörler ve vektörler tamamen denk bir şekilde diferansiyel denklemler olarak temsil edilebilir.

Bra-ket gösterimi hakkında not. Bra-ket fizikte vektör uzaylarını tanımlamak için kullanılan basitleştirici bir gösterimdir. Bir vektör ket olarak yazılır

v|v\rangle

. Her bir ket vektörünün ikili vektörü, benzeyen bir sütyen vektörüdür

v\langle v|

. Bir ket ve sütyeni bir araya getirdiğinizde, bir iç ürün elde edersiniz

vw\langle v|w\rangle

. Matris gösterimlerinde, bir ket bir sütun vektörü, bir sutyen bir satır vektörüdür ve nokta ürünü elde etmek için bunları çoğaltabilirsiniz. Bkz. Bra-ket gösterimi.