Riemann integrali ile Riemann Stieltjes integrali arasındaki fark nedir?


cevap 1:

Riemann integrali ile Riemann Stieltjes integrali arasındaki fark nedir?

Riemann Stieltjes integrali başka bir işleve göre, yani

abf(x)dx\int_a^b{f(x)dx}

bu

abf(x)dG(x)\int_a^b{f(x)dG(x)}

. Eğer

GG

türev ile ayırt edilebilir

gg

sonra integral olur

abf(x)g(x)dx\int_a^b{f(x)g(x)dx}

. Şimdiye kadar bunun Riemann'ın integral tanımı ile ilgisi yok. İntegrali farklı bir yaklaşım kullanarak tanımlayabiliriz (örneğin Lebesgue integrali).

Farzedelim

GG

ayırt edilemez mi? Bir örnek verelim,

G(x)=xG(x) = x

Eğer

x<2x < 2

ve

G(x)=x+1G(x) = x+1

Eğer

x2x \ge 2

.Ifthedomainoftheintegralincludesthepointx=2,theStieltjesintegralwillbetheordinaryintegralplusacontributionduetothejump.. If the domain of the integral includes the point x = 2, the Stieltjes integral will be the ordinary integral plus a contribution due to the jump.

Riemann Steiltjes integrali aynı şekilde yapılır. Etki alanını sınırlı sayıda parçaya bölün. Değerlendirmek

f(x)f(x)

her aralıktaki bir noktadaki değişiklikle çarpılır

G(x)G(x)

bu aralıkta ekleyin ve ekleyin. Ardından, en uzun alt aralığın uzunluğu sıfıra düştüğü için sınırı alın. Atlamaların değerine eşit bir katkı sağladığını göreceksiniz.

f(x)f(x)

atlayıştaki atlayışın büyüklüğü ile çarpılır

G(x)G(x)

. Eğer

f(x)f(x)

isnotcontinuousorthediscontinuityinGisnotsimplyajumpthesituationisslightlymorecomplicated.UsethedefinitionbasedonDarbouxsumsinstead,oruseaLebesgueStieltjesintegral(whichisaLebesgueintegralwithrespecttoadifferentmeasure). is not continuous or the discontinuity in G is not simply a jump the situation is slightly more complicated. Use the definition based on Darboux sums instead, or use a Lebesgue Stieltjes integral (which is a Lebesgue integral with respect to a different measure).